Cho các số dương a; b; c thoả mãn a+b+c<=3
CMR: ( 1/a^2+b^2+c^2) +(2009/ab+bc+ca) >=670
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 12 2019
các số thực dương là các số > 0 ( kể cả phân số , số thập phân , số vô tỉ )
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
10 tháng 5 2022
Ta có:
\(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)=18\)
Suy ra \(P\le3\sqrt{2}\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=1\).
DT
1
6 tháng 2 2020
\(\hept{\begin{cases}a+ab+b=3\\b+bc+c=8\\c+ca+a=15\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+ab+b+1=4\\b+bc+c+1=9\\c+ca+a+1=16\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\\\left(b+1\right)\left(c+1\right)=9\\\left(c+1\right)\left(a+1\right)=16\end{cases}}\) \(\left(1\right)\)
Nhân vế với vế \(\Rightarrow\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right]^2=\left(24^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=24\)\(\left(2\right)\)
Chia vế với vế của \(\left(2\right)\)cho lần lượt các pt của \(\left(1\right)\), ta được :
\(\hept{\begin{cases}a+1=\frac{8}{3}\\b+1=\frac{3}{2}\\c+1=6\end{cases}}\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=\frac{5}{3}\\b=\frac{1}{2}\\c=5\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{43}{6}\)
19 tháng 5 2021
Áp dụng BĐT bunhiacop ski dạng phân thức(cauchy schwart)
`=>A>=(a+b+c)^2/(a+b+b+c+a+c)`
`<=>A>=(a+b+c)^2/(2(a+b+c))=(a+b+c)/2`
Mà `a+b+c=6`
`=>A>=6/2=3`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=2`
WH
19 tháng 5 2021
Câu hỏi của Thu Nguyễn - Toán lớp 9 - Học trực tuyến OLM
tham khảo ^^
Áp dụng BĐT Cauchy- schwarz:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\)\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}\)\(+\frac{1}{ab+bc+ca}\)
\(+\frac{2007}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{2007}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{6030}{\left(a+b+c\right)^2}\ge670\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=1\))